ir. Wim Vogel Mijn voorstel tot uitbreiding van het aantal mogelijke toonaarden voor een orgel in de (1/4 komma) middentoonstemming: De onderstaande afbeelding is die van de kwintencirkel in de normale middentoonstemming: M = 1/4 komma (- 5,38 cents). In deze afbeelding is de kwint Gis - Es de wolfskwint die 35,68 cents te groot is. Dit probleem kan worden opgelost door toevoeging van de Dis, welke iets lager is dan de Es. Deze Dis lost tevens het probleem op van de onzuivere grote terts B - Es en de onzuivere kleine terts Es - Fis. De onzuivere grote tertsen op Fis, Cis en Gis en de onzuivere kleine tertsen op Bes en F kunnen worden opgelost door toevoeging van de toetsen Ais (lager dan Bes), Eis (lager dan F) en Bis (lager dan C). Voor muziekstukken die verder niet gemoduleerd worden, is het aantal mogelijke toonaarden (aantal kruisen of mollen) nu aanzienlijk vergroot, door toevoeging van de genoemde 4 toetsen in een oktaaf. Het voorstel houdt feitelijk in dat boven de Gis nog 4 extra middentoonkwinten worden gestapeld! Ook naar beneden toe kunnen onder de Es nog 5 middentoonkwinten worden gestapeld, namelijk de toetsen As, Des, Ges en Ces en Fes. De onzuiverheid van het muziekinstrument kan nu ook in de andere toonaarden beperkt blijven tot de onzuiverheid van de middentoonkwinten die 5,38 cents naar binnen zweven, en alle 17 beschikbare grote tertsen kunnen nu volmaakt zuiver gespeeld worden, waarbij de wolfskwint (middentoonwolf) kan worden omzeild. Het gemodificeerde klavier heeft nu 20 toetsen per oktaaf, namelijk C, Cis, Des, D, Dis, Es, E, Eis, F, Fis, Ges, G, Gis, As, A, Ais, Bes, B, Ces en Bis en is uit te breiden tot 21 toetsen met de toets voor Fes (tussen de E en de Eis). Alle toonaarden kunnen nu gebruikt worden, zonder dat er wolfskwinten en wolfstertsen hoorbaar worden. In een oktaaf zijn er nu 16 of 17 zuivere grote tertsen (frequentieverhouding 5:4) beschikbaar op alle tonen behalve op Dis, Eis, Ais en Bis.

Lijst van frequenties in Hz (middentoonvoorstel en gelijkzwevend): (A = 440 Hz): C 263,1814 261,6256 Cis 275 277,1826 Des 281,6000 277,1826 D 294,2457 293,6648 Dis 307,4593 311,1270 Es 314,8384 311,1270 E 328,9767 329,6276 Fes 336.8722 329,6276 Eis 343,7500 349,2282 F 352 349,2282 Fis 367,8072 369,9944 Ges 376,6345 369,9944 G 393,548 391,9954 Gis 411,2209 415,3047 As 421,0902 415,3047 A 440 440 Ais 459,7590 466,1638 Bes 470,7932 466,1638 B 491,935 493,8833 Ces 503,7414 493,8833 Bis 514,0261 523,2511 C' 526,3628 523,2511 De in blauw gedrukte frequenties zijn beschikbaar in de klassieke 12-toons middentoonstemming. Tabel in Cents (middentoon en gelijkzwevend): Toon cents cents MT GZW         C 0 0 Cis 76 100 Des 117 100 D 193 200 Dis 269 300 Es 310 300 E 386 400 Fes 427 400 Eis 462 500 F 503 500 Fis 579 600 Ges 621 600 G 697 700 Gis 773 800 As 814 800 A 890 900 Ais 966 1.000 Bes 1.007 1.000 B 1.083 1.100 Ces 1.124 1.100 Bis 1.159 1.200 C' 1.200 1.200

Toelichting op de gelijkzwevende stemming en de middentoonstemming: Bij het gebruikelijke systeem van 12 tonen in een octaaf en gelijkzwevende stemming verschillen 2 opeenvolgende tonen in frequentie een factor 2^(1/12). Deze factor is goed te benaderen met de breuk 196 / 185. Er zijn in het verleden dan ook elektronische muziekinstrumenten gemaakt met ingebouwde 196 / 185 delers. Een octaaf wordt in de muziekleer onderverdeeld in 1200 cents. De afstand tussen twee opeenvolgende tonen (gelijkzwevend) is dan altijd 100 cents. Het nadeel van dit systeem is dat alle grote tertsen 14 cents te groot en alle kleine tertsen 16 cents te klein zijn. De kwinten zijn bijna zuiver (ongeveer 2 cents te klein). De gelijkzwevende stemming kan worden gezien als een bijzonder geval van de middentoonstemming (alle kwinten 1/12 van het Pythagoreisch komma te klein; er is geen wolfskwint); de zogenaamde kwintencirkel is nu gesloten. In de ongelijkzwevende middentoonstemming worden 11 van de 12 kwinten zoveel te klein gemaakt (ongeveer 5 cents of 1/4 van het Syntonisch komma), dat 4 opeenvolgende kwinten minus 2 octaven een zuivere grote terts opleveren. De overblijvende 12e kwint (Gis - Es) is dan extreem vals (36 cents te groot) en wordt wolfskwint genoemd. Ook zijn er 4 wolfs-grote tertsen (41 cents te groot), op B, Fis, Cis en Gis en zijn er 3 wolfs-kleine tertsen (46 cents te klein) op Es, Bes en F. Dit betekent dat een middentoon gestemd instrument slechts in een beperkt aantal toonaarden te bespelen is, namelijk in die met niet meer dan 3 kruisen of 2 mollen. In deze toonaarden klinkt het instrument wel ongekend zuiver ! Het voorstel hiernaast is een uitbreiding op de middentoonstemming, zodat het instrument in alle gangbare toonaarden is te bespelen. Terug naar de overzichtspagina orgels (mijn pleidooi om de middentoonstemming terug te krijgen op kerkorgels). Naar mijn persoonlijke pagina's. Link naar de Bijbel (Statenvertaling) . Vraag Jezus om uw Verlosser en Heer van uw leven te zijn, uw zonden te vergeven en bekeert u, opdat u kunt behouden worden - Openb 3:20. Laatste revisie van deze pagina: 03-10-2010.

 

Bis

Cis

Des

Dis

Es

Eis

Fis

Ges

Gis

As

Ais

Bes

Ces

Bis

Cis

C

D

E

F

G

A

B

C

 

Figuur 1: Toetsenbord behorende bij het voorstel voor de uitgebreide middentoonstemming.

Mogelijke modificatie en uitbreiding naar een 21-toon systeem:

1. Uitbreiding met de toets Fes tussen de E en de Eis (1 middentoonkwint onder Ces).
2. Verwisselen van de toetsen Ces en Bis en van de toetsen Fes en Eis.                       

De 31-toons stemming van Chr. Huygens (uit het jaar 1691) is nauwelijks afwijkend van de
 uitgebreide middentoonstemming. In de laatste stemming zijn de toetsen voor dubbele verhogingen en
dubbele verlagingen weggelaten (dubbelkruis en dubbelmol), zodat onbeperkt doormoduleren
niet mogelijk is. Voor de normale klassieke muziek is dit geen probleem.
 

Toon	31-toons systeem	Middentoon	GZW
	cents	cents	cents
C	0	0	0
Deses / Bisis	38,70967742
Cis	77,41935484	76	100
Des	116,1290323	117	100
Cisis	154,8387097
D	193,5483871	193	200
Eses	232,2580645
Dis	270,9677419	269	300
Es	309,6774194	310	300
Disis / Feses	348,3870968
E	387,0967742	386	400
Fes	425,8064516	427
Eis	464,516129	462
F	503,2258065	503	500
Eisis / Geses	541,9354839
Fis	580,6451613	579	600
Ges	619,3548387	621	600
Fisis	658,0645161
G	696,7741935	697	700
Ases	735,483871
Gis	774,1935484	773	800
As	812,9032258	814	800
Gisis	851,6129032
A	890,3225806	890	900
Beses	929,0322581
Ais	967,7419355	966	1000
Bes	1006,451613	1007	1000
Aisis / Ceses	1045,16129
B	1083,870968	1083	1100
Ces	1122,580645	1124	1100
Bis	1161,290323	1159
C'	1200	1200	1200

Figuur 2. Vergelijking met het 31-toonssysteem van Chr. Huygens en met de 12-toons gelijkzwevende stemming.

In de 31-toons stemming wordt een hele toon in 5 en een halve toon in 3 gelijke delen verdeeld.
Accidentals (voortekens) in het 31-toons systeem: 1 kruis = een verhoging: + 77,4 cents; 1 mol = een verlaging : - 77,4 cents.
Deze verhoging of verlaging is dus gelijk aan het 2/5 deel van een hele toon.
Het verschil tussen twee opeenvolgende tonen, bijvoorbeeld tussen Cis en Des is het 1/5 deel van een hele toon.
De frequentieverhouding tussen twee opeenvolgende tonen is 2^(1/31) = 1,0226114356.

In het 31-toons systeem zijn de kwinten ongeveer 5 cents te klein, de grote tertsen zijn praktisch rein.

Een grote terts komt overeen met 5x kruis of 5x mol (387 cents).
Een kleine terts komt overeen met 4x kruis of 4x mol (310 cents).
Een hele toon = 2,5x kruis of 2,5x mol (193,5 cents).
Een halve toon (afstand E - F en afstand B - C') = 1,5x kruis of 1,5x mol (116 cents).
Een kwart = 6,5x kruis of 6,5x mol (503 cents).
Een kwint = 9x kruis of 9x mol (697 cents).
Een octaaf = 15,5x kruis of 15,5x mol (1200 cents; 31x het 1/5 deel van een hele toon).
 

Voeg je de dubbelmollen en de dubbelkruisen toe, dan zijn er tussen C en D, D en E, F en G, G en A, en A en B 4 zwarte toetsen nodig.
Tussen E en F en tussen B en C zijn 2 zwarte toetsen nodig. Een oktaaf bevat dan 7 witte en 24 zwarte toetsen.
Het voordeel is wel dat de kwintencirkel gesloten wordt en dat je onbeperkt kunt doormoduleren.
 

Toon	Freq 31t systeem
	Hz
C	263,0921203
Deses / Bisis	269,0410108
Cis	275,1244143
Des	281,3453723
Cisis	287,7069951
D	294,2124632
Eses	300,8650294
Dis	307,6680197
Es	314,6248353
Disis / Feses	321,7389545
E	329,0139341
Fes	336,4534115
Eis	344,0611061
F	351,8408217
Eisis / Geses	359,7964478
Fis	367,931962
Ges	376,2514318
Fisis	384,7590169
G	393,4589706
Ases	402,3556428
Gis	411,4534815
As	420,7570354
Gisis	430,270956
A	440
Beses	449,9490317
Ais	460,1230252
Bes	470,5270674
Aisis / Ceses	481,1663599
B	492,046222
Ces	503,1720935
Bis	514,5495369
C'	526,1842406

Figuur 3. Frequentietabel voor het 31-toons systeem (A = 440 Hz).