ir. Wim Vogel

Mijn voorstel tot uitbreiding van het aantal mogelijke toonaarden voor een orgel in de (1/4 komma) middentoonstemming:

De onderstaande afbeelding is die van de kwintencirkel in de normale middentoonstemming:

M = 1/4 komma (- 5,38 cents).

In deze afbeelding is de kwint Gis - Es de wolfskwint die 35,68 cents te groot is.


Dit probleem kan worden opgelost door toevoeging van de Dis, welke iets lager is dan de Es. Deze Dis lost tevens het probleem op van de onzuivere grote terts B - Es en de onzuivere kleine terts Es - Fis.

De onzuivere grote tertsen op Fis, Cis en Gis en de onzuivere kleine tertsen op Bes en F kunnen worden opgelost door toevoeging van de toetsen Ais (lager dan Bes), Eis (lager dan F) en Bis (lager dan C).

Voor muziekstukken die verder niet gemoduleerd worden, is het aantal mogelijke toonaarden (aantal kruisen of mollen) nu aanzienlijk vergroot, door toevoeging van de genoemde 4 toetsen in een oktaaf.


Het voorstel houdt feitelijk in dat boven de Gis nog 4 extra middentoonkwinten worden gestapeld! Ook naar beneden toe kunnen onder de Es nog 5 middentoonkwinten worden gestapeld, namelijk de toetsen As, Des, Ges en Ces en Fes. De onzuiverheid van het muziekinstrument kan nu ook in de andere toonaarden beperkt blijven tot de onzuiverheid van de middentoonkwinten die 5,38 cents naar binnen zweven, en alle 17 beschikbare grote tertsen kunnen nu volmaakt zuiver gespeeld worden, waarbij de wolfskwint (middentoonwolf) kan worden omzeild.

Het gemodificeerde klavier heeft nu 20 toetsen per oktaaf, namelijk C, Cis, Des, D, Dis, Es, E, Eis, F, Fis, Ges, G, Gis, As, A, Ais, Bes, B, Ces en Bis en is uit te breiden tot 21 toetsen met de toets voor Fes (tussen de E en de Eis).

Alle toonaarden kunnen nu gebruikt worden, zonder dat er wolfskwinten en wolfstertsen hoorbaar worden.

In een oktaaf zijn er nu 16 of 17 zuivere grote tertsen (frequentieverhouding 5:4) beschikbaar op alle tonen
behalve op Dis, Eis, Ais en Bis.
 

        

Lijst van frequenties in Hz (middentoonvoorstel en
gelijkzwevend):

(A = 440 Hz):

C 263,1814 261,6256
Cis 275 277,1826
Des 281,6000 277,1826
D 294,2457 293,6648
Dis 307,4593 311,1270
Es 314,8384 311,1270
E 328,9767 329,6276
Fes 336.8722 329,6276
Eis 343,7500 349,2282
F 352 349,2282
Fis 367,8072 369,9944
Ges 376,6345 369,9944
G 393,548 391,9954
Gis 411,2209 415,3047
As 421,0902 415,3047
A 440 440
Ais 459,7590 466,1638
Bes 470,7932 466,1638
B 491,935 493,8833
Ces 503,7414 493,8833
Bis 514,0261 523,2511
C' 526,3628 523,2511

De in blauw gedrukte frequenties zijn beschikbaar in de klassieke 12-toons middentoonstemming.

Tabel in Cents (middentoon en gelijkzwevend):

Toon cents cents
MT GZW
   
   
C 0 0
Cis 76 100
Des 117 100
D 193 200
Dis 269 300
Es 310 300
E 386 400
Fes 427 400
Eis 462 500
F 503 500
Fis 579 600
Ges 621 600
G 697 700
Gis 773 800
As 814 800
A 890 900
Ais 966 1.000
Bes 1.007 1.000
B 1.083 1.100
Ces 1.124 1.100
Bis 1.159 1.200
C' 1.200 1.200


 

Toelichting op de gelijkzwevende stemming en de middentoonstemming:

Bij het gebruikelijke systeem van 12 tonen in een octaaf en gelijkzwevende stemming verschillen 2 opeenvolgende tonen in frequentie een factor
2^(1/12).

Deze factor is goed te benaderen met de breuk
196 / 185. Er zijn in het verleden dan ook elektronische muziekinstrumenten gemaakt met ingebouwde 196 / 185 delers.

Een octaaf wordt in de muziekleer onderverdeeld in 1200 cents. De afstand tussen twee opeenvolgende tonen (gelijkzwevend) is dan altijd 100 cents. Het nadeel van dit systeem is dat alle grote tertsen 14 cents te groot en alle kleine tertsen 16 cents te klein zijn. De kwinten zijn bijna zuiver (ongeveer 2 cents te klein). De gelijkzwevende stemming kan worden gezien als een bijzonder geval van de middentoonstemming (alle kwinten 1/12 van het Pythagoreisch komma te klein; er is geen wolfskwint); de zogenaamde kwintencirkel is nu gesloten.

In de ongelijkzwevende middentoonstemming worden 11 van de 12 kwinten zoveel te klein gemaakt (ongeveer 5 cents of 1/4 van het Syntonisch komma), dat 4 opeenvolgende kwinten minus 2 octaven een zuivere grote terts opleveren. De overblijvende 12e kwint (Gis - Es) is dan extreem vals (36 cents te groot) en wordt wolfskwint genoemd.

Ook zijn er 4 wolfs-grote tertsen (41 cents te groot), op B, Fis, Cis en Gis en zijn er 3 wolfs-kleine tertsen (46 cents te klein) op Es, Bes en F.

Dit betekent dat een middentoon gestemd instrument slechts in een beperkt aantal toonaarden te bespelen is, namelijk in die met niet meer dan 3 kruisen of 2 mollen. In deze toonaarden klinkt het instrument wel ongekend zuiver !

Het voorstel hiernaast is een uitbreiding op de middentoonstemming, zodat het instrument in alle gangbare toonaarden is te bespelen.

Terug naar de overzichtspagina orgels (mijn pleidooi om de middentoonstemming terug te krijgen op kerkorgels).

Naar mijn persoonlijke pagina's.

Link naar de
Bijbel (Statenvertaling) .

Vraag Jezus om uw Verlosser en Heer van uw leven te zijn, uw zonden te vergeven en bekeert u, opdat u kunt behouden worden -
Openb 3:20.

Laatste revisie van deze pagina: 03-10-2010.

 



Bis

 



Cis



Des

 



Dis



Es

 


    Eis

 



Fis



Ges

 



Gis



As

 



Ais



Bes

 



Ces



Bis

 



Cis



   C

 

 

   D

 

 

   E

 

 

   F

 

 

   G

 

 

   A

 

 

   B

 

 

   C

                                               

 

Figuur 1: Toetsenbord behorende bij het voorstel voor de uitgebreide middentoonstemming.

Mogelijke modificatie en uitbreiding naar een 21-toon systeem:

1. Uitbreiding met de toets Fes tussen de E en de Eis (1 middentoonkwint onder Ces).
2. Verwisselen van de toetsen Ces en Bis en van de toetsen Fes en Eis.                       

De 31-toons stemming van Chr. Huygens (uit het jaar 1691) is nauwelijks afwijkend van de
 uitgebreide middentoonstemming. In de laatste stemming zijn de toetsen voor dubbele verhogingen en
dubbele verlagingen weggelaten (dubbelkruis en dubbelmol), zodat onbeperkt doormoduleren
niet mogelijk is. Voor de normale klassieke muziek is dit geen probleem.
 
Toon 31-toons systeem Middentoon GZW
cents cents cents
     
     
C 0 0 0
Deses / Bisis 38,70967742    
Cis 77,41935484 76 100
Des 116,1290323 117 100
Cisis 154,8387097    
D 193,5483871 193 200
Eses 232,2580645    
Dis 270,9677419 269 300
Es 309,6774194 310 300
Disis / Feses 348,3870968    
E 387,0967742 386 400
Fes 425,8064516 427  
Eis 464,516129 462  
F 503,2258065 503 500
Eisis / Geses 541,9354839    
Fis 580,6451613 579 600
Ges 619,3548387 621 600
Fisis 658,0645161    
G 696,7741935 697 700
Ases 735,483871    
Gis 774,1935484 773 800
As 812,9032258 814 800
Gisis 851,6129032    
A 890,3225806 890 900
Beses 929,0322581    
Ais 967,7419355 966 1000
Bes 1006,451613 1007 1000
Aisis / Ceses 1045,16129    
B 1083,870968 1083 1100
Ces 1122,580645 1124 1100
Bis 1161,290323 1159  
C' 1200 1200 1200


Figuur 2. Vergelijking met het 31-toonssysteem van Chr. Huygens en met de 12-toons gelijkzwevende stemming.

In de 31-toons stemming wordt een hele toon in 5 en een halve toon in 3 gelijke delen verdeeld.
Accidentals (voortekens) in het 31-toons systeem: 1 kruis = een verhoging: + 77,4 cents; 1 mol = een verlaging : - 77,4 cents.
Deze verhoging of verlaging is dus gelijk aan het 2/5 deel van een hele toon.
Het verschil tussen twee opeenvolgende tonen, bijvoorbeeld tussen Cis en Des is het 1/5 deel van een hele toon.
De frequentieverhouding tussen twee opeenvolgende tonen is 2^(1/31) = 1,0226114356.

In het 31-toons systeem zijn de kwinten ongeveer 5 cents te klein, de grote tertsen zijn praktisch rein.

Een grote terts komt overeen met 5x kruis of 5x mol (387 cents).
Een kleine terts komt overeen met 4x kruis of 4x mol (310 cents).
Een hele toon = 2,5x kruis of 2,5x mol (193,5 cents).
Een halve toon (afstand E - F en afstand B - C') = 1,5x kruis of 1,5x mol (116 cents).
Een kwart = 6,5x kruis of 6,5x mol (503 cents).
Een kwint = 9x kruis of 9x mol (697 cents).
Een octaaf = 15,5x kruis of 15,5x mol (1200 cents; 31x het 1/5 deel van een hele toon).
 

Voeg je de dubbelmollen en de dubbelkruisen toe, dan zijn er tussen C en D, D en E, F en G, G en A, en A en B 4 zwarte toetsen nodig.
Tussen E en F en tussen B en C zijn 2 zwarte toetsen nodig. Een oktaaf bevat dan 7 witte en 24 zwarte toetsen.
Het voordeel is wel dat de kwintencirkel gesloten wordt en dat je onbeperkt kunt doormoduleren.
 
Toon Freq 31t systeem
Hz
 
C 263,0921203
Deses / Bisis 269,0410108
Cis 275,1244143
Des 281,3453723
Cisis 287,7069951
D 294,2124632
Eses 300,8650294
Dis 307,6680197
Es 314,6248353
Disis / Feses 321,7389545
E 329,0139341
Fes 336,4534115
Eis 344,0611061
F 351,8408217
Eisis / Geses 359,7964478
Fis 367,931962
Ges 376,2514318
Fisis 384,7590169
G 393,4589706
Ases 402,3556428
Gis 411,4534815
As 420,7570354
Gisis 430,270956
A 440
Beses 449,9490317
Ais 460,1230252
Bes 470,5270674
Aisis / Ceses 481,1663599
B 492,046222
Ces 503,1720935
Bis 514,5495369
C' 526,1842406


Figuur 3. Frequentietabel voor het 31-toons systeem (A = 440 Hz).